Referência Matemática

Catálogo das formulações canônicas usadas no PAEBIRU. Cada entrada lista a expressão, a constante de calibração quando aplicável, o módulo de implementação e o RFC ou seção arquitetônica que normatiza o uso. Não é um livro-texto — é uma referência rápida para conferir unidades, sinais e convenções.

1. Criptografia e ZK

1.1 Groth16 (BN254)

Verificação de uma prova $\pi = (A, B, C)$ contra inputs públicos $x = (x_1, \dots, x_\ell)$ e verifying key $\mathrm{vk}$:

$$ e(A, B) \stackrel{?}{=} e(\alpha, \beta) \cdot e!\left(\sum_{i=0}^{\ell} x_i \cdot \mathrm{vk}_i,\ \gamma\right) \cdot e(C, \delta) $$

onde $e: \mathbb{G}_1 \times \mathbb{G}_2 \to \mathbb{G}_T$ é o emparelhamento bilinear.

• Implementação: paebiru-zk (BN254).
• RFC: 009 (ZK Governance), 008 (PoL).

1.2 FROST Threshold Signature (k-de-n)

Reconstrução do nonce agregado a partir de shares ${(i, \rho_i)}_{i \in S}$ com $|S| = k$:

$$ \rho = \sum_{i \in S} \lambda_i^S \cdot \rho_i, \quad \lambda_i^S = \prod_{j \in S, j \neq i} \frac{j}{j - i} \pmod{q} $$

$\lambda_i^S$ é o coeficiente de Lagrange. A chave agregada $X$ e a assinatura $(R, z)$ verificam-se via $g^z = R \cdot X^{H(R | X | m)}$.

• Implementação: crates/kernel/src/domain/security/frost.rs.
• RFC: 009, 013.

1.3 BLAKE3 PoW

Aceita-se um nonce $n$ para mensagem $m$ se:

$$ H_{\mathrm{BLAKE3}}(m | n) < 2^{256 - d} $$

onde $d$ é a dificuldade (bits de zero exigidos). Custo esperado: $2^d$ tentativas.

• Implementação: crates/kernel/src/domain/security/pow.rs.
• RFC: 003.

2. Proof-of-Location (PoL)

2.1 TDOA — Hiperbólica em 2D

Diferença de tempo entre receptores $i, j$ para emissor $\mathbf{p}$:

$$ \Delta t_{ij} = \frac{|\mathbf{p} - \mathbf{a}_i| - |\mathbf{p} - \mathbf{a}_j|}{c} $$

com $c$ = velocidade de propagação RF ($0.999 \cdot c$ no ar). Solução: interseção de hipérboles via mínimos quadrados não-lineares (Foy / Chan-Ho). Para malhas de alta precisão (RFC 030), utiliza-se Weighted Least Squares (WLS), onde medições provenientes de âncoras com relógios atômicos (CSAC) recebem maior peso $w_i \propto 1/\sigma_i^2$.

2.2 RSSI — Modelo Log-Distance

$$ \mathrm{RSSI}(d) = \mathrm{RSSI}0 - 10, n \log{10}!\left(\frac{d}{d_0}\right) + X_\sigma $$

$n$: expoente de perda de caminho (2 em LoS, 3–5 em ambientes obstruídos). $X_\sigma \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$: shadowing.

2.3 AOA — MUSIC sobre arranjo de antenas

Pico do pseudo-espectro $P_{\mathrm{MUSIC}}(\theta) = 1 / \mathbf{a}(\theta)^H \mathbf{E}_n \mathbf{E}_n^H \mathbf{a}(\theta)$ indica a direção, onde $\mathbf{E}_n$ é o subespaço de ruído da matriz de covariância e $\mathbf{a}(\theta)$ o vetor de steering.

2.4 Fusão (EKF híbrido)

Atualização do estado $\mathbf{x}_k$ a partir de medidas heterogêneas $\mathbf{z}_k$ (TDOA + RSSI + AOA):

$$ \mathbf{x}{k|k} = \mathbf{x}{k|k-1} + K_k (\mathbf{z}k - h(\mathbf{x}{k|k-1})), \quad K_k = P_{k|k-1} H_k^\top (H_k P_{k|k-1} H_k^\top + R_k)^{-1} $$

• Implementação: crates/kernel/src/domain/security/pol/tdoa.rs.
• RFC: 008, 030.

2.5 PHY-Fingerprint Estocástico

As variações na assinatura de rádio (CFO, Phase Noise, IQ Imbalance) são tratadas como uma dinâmica estocástica regida pela Equação de Langevin:

$$ \frac{dx}{dt} = -\gamma x + \eta(t) $$

Onde:

• $x$: Desvio da assinatura em relação ao referencial (impressão digital).
• $\gamma$: Coeficiente de atrito (estabilidade do hardware/envelhecimento).
• $\eta(t)$: Ruído térmico/ambiental (ruído gaussiano).

A Janela Estocástica permite a autenticação contínua aceitando desvios que sigam a curva projetada, rejeitando saltos descontínuos indicativos de spoofing.

• Implementação: crates/kernel/src/domain/security/fingerprint.rs.
• RFC: 018.

3. CRDT / DVV (Causal Ordering)

Para vetor de versão $V_a, V_b$ associado a réplica:

$$ V_a \to V_b \iff \forall i: V_a[i] \leq V_b[i] \land \exists j: V_a[j] < V_b[j] $$

$V_a \parallel V_b$ (concorrência) quando nenhuma das duas vale.

Merge: $(V_a \sqcup V_b)[i] = \max(V_a[i], V_b[i])$.

• Implementação: crates/kernel/src/domain/state/.
• Verificação formal: TLA+ (liveness e convergência).

4. Aprendizado Federado

4.1 FedAvg

Atualização do modelo global na rodada $t$:

$$ w^{t+1} = \sum_{k=1}^{K} \frac{n_k}{n}, w_k^{t+1}, \quad n = \sum_k n_k $$

$w_k$: pesos locais da réplica $k$ com $n_k$ amostras.

4.2 Krum (Byzantine-robust)

Score do cliente $i$:

$$ s(i) = \sum_{j \in \mathcal{N}_i^{K - f - 2}} |w_i - w_j|^2 $$

$\mathcal{N}_i^m$: os $m$ vizinhos mais próximos de $i$. O cliente com menor $s$ é eleito; $f$ é o número de bizantinos tolerados.

4.3 Differential Privacy (DP-SGD)

Adição de ruído ao gradiente clipado:

$$ \tilde{g}k = \frac{1}{B} \sum{i \in B} \mathrm{clip}!\left(\nabla \ell(w; x_i), C\right) + \mathcal{N}(0, \sigma^2 C^2 I) $$

Privacidade $(\varepsilon, \delta)$ via Rényi DP, composta sobre rodadas.

4.4 Privacidade Diferencial Estigmergica (REP)

O Ripple Effect Protocol aplica ruído de Laplace aos gradientes de deliberação para garantir anonimato das intenções:

$$ \mathcal{M}(x) = f(x) + \text{Laplace}\left(\frac{\Delta f}{\epsilon}\right) $$

Onde a PDF de Laplace é $L(x|\mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$, com $b = \Delta f / \epsilon$.

• Implementação: crates/math/src/domain/privacy/laplace.rs.
• RFC: 032.

5. Computação Termodinâmica

5.1 Min-entropia (NIST SP 800-90B)

Para fonte com distribuição $p_i$:

$$ H_\infty(X) = -\log_2 \max_i p_i $$

Estimadores não-IID: collision, compression, Markov, MultiMCW. Aceita-se a fonte se $\min$ dos estimadores $\geq$ alvo declarado.

5.2 p-bit Dynamics (Boltzmann)

Estado $m_i \in {-1, +1}$ amostrado a cada passo:

$$ \Pr[m_i = +1] = \frac{1}{1 + e^{-2 I_i / T}}, \quad I_i = \sum_j J_{ij} m_j + h_i $$

$T$: temperatura efetiva (escala de ruído). Arranjos resolvem Ising.

5.3 Limite de Landauer

Energia mínima para apagar um bit:

$$ E_{\min} = k_B T \ln 2 \approx 2.85 \times 10^{-21} \text{ J} \text{ a } 300 \text{ K} $$

Operações $N$-bit reversíveis: custo nulo no limite ideal. O LandauerLedger audita reivindicações que violem este piso.

5.4 Langevin SGD

$$ w_{t+1} = w_t - \eta \nabla \mathcal{L}(w_t) + \sqrt{2 \eta T}, \xi_t, \quad \xi_t \sim \mathcal{N}(0, I) $$

Em equilíbrio amostra a distribuição $\pi(w) \propto e^{-\mathcal{L}(w)/T}$ (escape de mínimos locais).

5.5 Termotempo (Tempo Termodinâmico Integral)

O avanço do tempo $dt$ em um nó é proporcional à variação da entropia local $dS$ e inversamente proporcional ao atrito computacional $\gamma$:

$$ \Delta t \propto \frac{\Delta S}{\gamma} $$

Em repouso absoluto ($\Delta S = 0$), o tempo lógico do nó congela. A métrica de tempo é elástica, permitindo sincronia causal em vez de cronológica.

• Implementação: paebiru-math (Tensor Métrico de Termotempo).
• RFC: 034.

5.6 Maturidade Causal e Langevin Ticks

O decaimento da “temperatura” informacional ($T_{info}$) de um fragmento de dado na Nascente segue uma dinâmica de Langevin, onde o atrito $\gamma$ é contraposto pela energia estigmergica $\Delta C$ das requisições:

$$ \frac{dT*{info}}{dt} = -\gamma T*{info} + \Delta C + \sqrt{2\gamma kB T{env}} \xi(t) $$

A Maturidade Causal é atingida quando a média temporal de $\Delta C$ tende a zero. A reconciliação topológica utiliza Análise Topológica de Dados (TDA) via complexos de Vietoris-Rips para alinhar ciclos persistentes de causalidade:

$$ Hk(X) = \ker(\partial_k) / \mathrm{im}(\partial{k+1}) $$

• Implementação: paebiru-math (Langevin decay, TDA Persistence).

• RFC: 033.

• Implementação: crates/kernel/src/domain/entropy/, paebiru-learn (Langevin).

• RFC: 014.

6. Neuromórfica / SNN

6.1 LIF (Leaky Integrate-and-Fire)

$$ \tau_m \frac{dV}{dt} = -(V - V_{\mathrm{rest}}) + R_m I(t) $$

Dispara quando $V \geq V_{\mathrm{thr}}$; reseta para $V_{\mathrm{reset}}$ por período refratário $\tau_{\mathrm{ref}}$.

6.2 Ressonância Estocástica (Collins)

Probabilidade de detecção de sinal sub-limiar $s$ em ruído $\sigma$ via $N$ detectores paralelos:

$$ P_{\mathrm{det}}(s, \sigma, N) = 1 - \left[1 - \Phi!\left(\frac{s - \theta}{\sigma}\right)\right]^N $$

$\Phi$: CDF normal. Existe $\sigma^* > 0$ que maximiza $P_{\mathrm{det}}$ para $s < \theta$ — a “curva-U invertida” da SR.

6.3 Roteamento Estocástico

O ruído térmico $\eta(t)$ capturado pelo hardware é modelado pela Equação de Langevin:

$$ \frac{dx}{dt} = -\gamma x + \eta(t) $$

A probabilidade de escolha de um peer no StigmergicRouter é ajustada pela Temperatura de Exploração ($T$):

$$ P \propto \exp\left(\frac{I}{T}\right) $$

Onde $I$ é a intensidade do feromônio. Isso garante a descoberta de rotas globais ao forçar desvios exploratórios em $T$ elevado.

6.4 Ghost Stochastic Resonance

Para entradas multissenoidais $f_1, f_2, \dots, f_n$ com $f_i = (k + i) f_0$, surge resposta na frequência ausente $f_0$ (a “fantasma”) quando o ruído é calibrado. Validação obrigatória per RFC 019.

• Implementação: src/biology/neuromorphic/.
• RFC: 012, 019 (OPEN — alvo empírico).

6.5 Ressonância Estocástica Aplicada

Para a detecção de sinais fracos (S1 - Camada Física), o nó busca o nível de ruído $D$ que maximiza a Razão Sinal-Ruído (SNR) através da relação:

$$ SNR \propto \frac{1}{D} \exp\left(-\frac{\Delta U}{D}\right) $$

Onde $\Delta U$ é a barreira de potencial do receptor. O pico de ressonância ocorre em $D = \Delta U$.

Para implementações no_std, utiliza-se a aproximação por Série de Taylor truncada (ordem 10–12) para a função exponencial, garantindo erro relativo $< 10^{-9}$ na região de operação:

$$ \exp(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n!} $$

• Implementação: crates/math/src/domain/thermodynamics/stochastic_resonance.rs.
• RFC: 027.

7. Biofísica e Wetware

7.1 Modelo de Hodgkin-Huxley

Corrente total através da membrana:

$$ I = Cm \frac{dV_m}{dt} + \bar{g}{Na} m^3 h (Vm - E{Na}) + \bar{g}_K n^4 (V_m - E_K) + \bar{g}_l (V_m - E_l) $$

Onde $V_m$ é o potencial de membrana e $n, m, h$ são as variáveis de gate que seguem $\frac{dx}{dt} = \alpha_x(V)(1-x) - \beta_x(V)x$.

7.2 Reação-Difusão (Padrões de Turing)

Evolução da concentração química no substrato orgânico:

$$ \frac{\partial c}{\partial t} = D \nabla^2 c + R(c) $$

7.3 Difusão Langevin (Wetware)

Para conter o ruído orgânico:

$$ dc = (-\gamma c) dt + \sigma \sqrt{dt} \xi $$

Onde $\xi$ é o ruído gaussiano (PRNG LCG).

8. Estigmergia / Swarm

8.1 ACO (atualização de feromônio)

$$ \tau_{ij}^{t+1} = (1 - \rho), \tau_{ij}^t + \sum_{k=1}^{m} \Delta \tau_{ij}^k $$

$\rho$: taxa de evaporação. $\Delta \tau_{ij}^k = Q / L_k$ se a aresta $(i,j)$ está na rota da formiga $k$ de custo $L_k$.

7.2 PSO (velocidade da partícula)

$$ v_i^{t+1} = \omega v_i^t + c_1 r_1 (p_i^{\mathrm{best}} - x_i^t) + c_2 r_2 (g^{\mathrm{best}} - x_i^t) $$

$\omega$: inércia. $c_1, c_2$: pesos cognitivo e social. $r_1, r_2 \sim U(0,1)$.

• Implementação: StigmergicRouter em crates/kernel/src/domain/network/.
• RFC: 007.

8.3 Sincronização de Kuramoto (Beamforming Holográfico)

Dinâmica de ajuste de fase para enxames acoplados (nós de rádio):

$$ \frac{d\phi_i}{dt} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{j=1}^{N} A_{ij} \sin(\phi_j - \phi_i) $$

Onde $\phi_i$ é a fase local e $K$ a força de acoplamento. A interferência construtiva (holografia RF) do bando:

$$ E_{total} = \sum_{i=1}^{N} E_i e^{j(\omega t + \phi_i)} $$

• Implementação: crates/math/src/domain/holographic_beamforming/mod.rs (Cálculo vetorial no_std).
• RFC: 029.

9. Economia

9.1 Invariante zero-sum do crédito mútuo

Para conjunto de contas ${c_i}$:

$$ \sum_i \mathrm{balance}(c_i) \equiv 0 \quad \forall t $$

Toda transação debita $\Delta$ de uma conta e credita $\Delta$ em outra. Verificado formalmente em Lean 4.

8.2 Reed-Solomon e Memória Holográfica

O código $\mathrm{RS}(n, k)$ sobre $\mathbb{F}_{2^m}$ é utilizado para fragmentar o Mapa Cognitivo Topológico (TCM). A matriz de persistência homológica (derivada de TDA) é tratada como um bloco de dados sistemático:

1. Divisão: O TCM é dividido em $k$ partes de dados.
2. Paridade: Geram-se $n-k$ partes de paridade.
3. Holografia: Qualquer conjunto de $k$ fragmentos recebidos via Rizoma permite a inversão da matriz de Vandermonde e a reconstrução do TCM original para ativação do Déjà Vu Sistêmico.

• Implementação: paebiru-math (Reed-Solomon sobre matrizes TDA).
• RFC: 002, 024.

8.3 DRE — Deep Resource Efficiency

O multiplicador DRE ($\mathcal{M}$) quantifica a qualidade ontológica do trabalho computacional, modulando a valoração do Joule baseada em critérios de sustentabilidade e utilidade.

$$\mathcal{M} = 1.0 + B_{hw} + B_{en} + B_{soc} + B_{sus}$$

Onde os bônus são definidos como:

• $B_{hw}$ (Hardware Passport): Recompensa a longevidade física. O bônus cresce com a idade atestada do hardware: $B_{hw} = \alpha \cdot \log(1 + \text{idade_anos})$.
• $B_{en}$ (Energy Source Twin): Proporcional à fração de energia renovável ($\rho_{ren}$): $B_{en} = \beta \cdot \rho_{ren}$.
• $B_{soc}$ (Social Tags): Subsídio baseado no impacto social $S_i$ mapeado pela DAO: $B_{soc} = \sum S_i$.
• $B_{sus}$ (Sustentabilidade): Ajuste térmico baseado na proximidade do limite de Landauer e eficiência de arrefecimento.

A valoração final do crédito ao provedor é $\text{Valor}{base} \cdot \mathcal{M}$, enquanto a cobrança ao requisitante é subsidiada pela utilidade social: $\text{Valor}{base} / (1 + B_{soc})$.

• Implementação: src/economy/.
• RFC: RFC 004.

9. Backpressure (Token Bucket)

Capacidade $B$, taxa de reabastecimento $r$ tokens/s:

$$ \mathrm{tokens}(t) = \min!\left(B,\ \mathrm{tokens}(t_0) + r (t - t_0)\right) $$

Envio de pacote consome 1 token; sem tokens → descarte com sinal algedônico (não buffer infinito — ver THE_REALITY_IS_FRACTAL.md).

11. Fundamentação Quântica

11.1 Equação de Schrödinger Discreta

Evolução da função de onda $\psi$ em uma malha discreta:

$$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right) \psi $$

No PAEBIRU, $\psi$ representa a superposição probabilística de estados de um Plasmídeo ou intenção. O colapso (observação) é o motor de decisão instantâneo.

10.2 Langevin Quântica (Caldeira-Leggett)

Dinâmica de um sistema quântico aberto acoplado a um banho térmico:

$$ m \ddot{x} + m \gamma \dot{x} + \nabla V(x) = \xi(t) + F_{q}(t) $$

$F_{q}(t)$ representa o ruído quântico que obedece ao teorema de flutuação-dissipação. Usado para calcular o tempo de coerência do enxame interplanetário.

• Implementação: crates/math/src/domain/quantum/.
• RFC: 038.

Convenções de Unidades

Referências Cruzadas

• ARCHITECTURE.md — corte v1/v2+/pesquisa por subsistema.
• architecture/ — bounded contexts com implementação canônica.
• rfc/ — especificações normativas; 019 e 020 contêm alvos empíricos ainda em aberto.
• DICTIONARY.md — definições textuais dos termos.
• PATTERNS.md — padrões arquitetônicos que envolvem estas formulações.

9. Governança e Autoridade

9.1 Poder de Voto (Conatus)

O poder de voto $V_i$ de um nó na DAO Orgânica é dado pela expressão:

$$V_i = \text{DRE}_i \times \text{Stake}_i$$

onde:

• \text{DRE}_i: Multiplicador de Eficiência Profunda de Recursos (RFC 004).
• \text{Stake}_i: Quantidade de Joules bloqueados voluntariamente para garantir a estabilidade do nó (RFC 013).

9.2 Agregação por Mediana (Oráculos)

Para $k$ de $n$ relatórios independentes $r_1, \dots, r_k$ submetidos por nós oráculos, o valor agregado $v$ é:

$$v = \mathrm{median}(r_1, \dots, r_k)$$

Este estimador possui um ponto de ruptura (breakdown point) de $50%$, garantindo resistência a até $\lfloor (k-1)/2 \rfloor$ outliers bizantinos. O resultado é selado via assinatura de threshold FROST (ver seção 1.2).

• Implementação: crates/economy/src/domain/governance/dao.rs, crates/economy/src/domain/governance/oracle.rs.
• RFC: 013.